纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是两种生活数学证明措施,常用于证明命题(命题是对某个问题图片图片的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了有些有些领域(比如数学分析)的基础,所以有数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法两种生活非常简单。怎么让亲戚亲戚亲戚当当让我们要我证明某个命题对于自然数n都成立,没办法 :

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下里面的所以步骤。它们实际上因为,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。怎么让,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲戚亲戚亲戚当当让我们选取n的倒下会因为n + 1的倒下,怎么让推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲戚亲戚亲戚当当让我们来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你这名公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,须要算出1到60 的累加,不能回家。于是高斯想出了里面的措施。天才须要被逼出来的么?)

亲戚亲戚亲戚当当让我们的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,怎么让命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    没办法 ,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。怎么让,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

怎么让,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指所以计算机应用线程调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求应用线程有所以不能达到的终止条件(base case)。比如下面的应用线程,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在应用线程中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。要我得到f(n),须要计算f(n-1);要我f(n-1),须要计算f(n-2)……直到f(1)。怎么让亲戚亲戚亲戚当当让我们怎么让知道了f(1)的值,亲戚亲戚亲戚当当让我们就都不能 填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的应用线程实现。使用递归设计应用线程的事先,亲戚亲戚亲戚当当让我们设置base case,并假设亲戚亲戚亲戚当当让我们会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲戚亲戚亲戚当当让我们只关注初始和衔接,而不须要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据型态实现的。正如亲戚亲戚亲戚当当让我们里面所说的,计算f(n),须要f(n-1);计算f(n-1),须要f(n-2)……。亲戚亲戚亲戚当当让我们在寻找到f(1)事先,会有有些空缺: f(n-1)的值那此? f(n-2)的值是那此? …… f(2)的值是那此?f(1)的值是那此? 亲戚亲戚亲戚当当让我们的第所以问题图片图片是f(n)是那此,结果,你这名问题图片图片引出下所以问题图片图片,再下所以问题图片图片…… 每个问题图片图片的解答都依赖于下所以问题图片图片,直到亲戚亲戚亲戚当当让我们找到第所已经 能 回答的问题图片图片: f(1)的值是那此?

亲戚亲戚亲戚当当让我们用栈来保存亲戚亲戚亲戚当当让我们在探索过程中的问题图片图片。C语言中,函数的调用怎么让是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,所以有很自然的,递归用栈来保存亲戚亲戚亲戚当当让我们的“问题图片图片” 。

亲戚亲戚亲戚当当让我们假设栈向下增长。首先,亲戚亲戚亲戚当当让我们调用f(60 ),没办法 当执行到

return f(n-1) + n; 

f(60 )暂停执行,并记录当前的情形,比如n的值,当前执行到的位置。已经 调用f(99),栈增加所以frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

怎么让返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(60 ),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(60 )的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也都不能 自行手动实现栈。所已经 能 得到更好的运行时延单位。

总结

数学归纳法

递归

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